$f_x(0)=5, f_y(0)=-3$임을 쉽게 알 수 있다. \( \lim_{t\to 0}\frac{f(at,bt)}{t}=5a-3b \)이다. \(a^2+b^2=1\)을 만족하는 \(a,b\)에 대해 \(5a-3b\)의 최대 및 최소는 \(\pm \sqrt{34} \)이다.
\(k=4\)라면 가능하다. 조건은 결국 \(n=\pm m\pmod 7\)인 서로다른 \(n,m\)이 존재하는가로 환원되기 때문이다.
\(k=3\)인 경우 \(1,2,3\)을 생각하면 반례가 나온다.
직관적으로, trace가\(0\)이어야만 할 것이라는 추론이 가능하다. 실제로 trace의 commutativity에 의해 \(U\)의 trace는 0이다.
케일리 해밀턴 정리에 따르면 \( U^2=kI \)여야만 한다. 이는 어떤 \(t\)에 대해 \(U=tI\)임을 알려주는데,U의 trace는 0이므로 t=0이어야만 한다.
1. \(A_n\le nB_n\)
\( r_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}, c_j=\sum_{i=1}^n a_{ij} \)와 같이 정의하자.
\( B_n=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(a_{ij}r_i^{1/2}c_j^{1/2}) \)와 같이 표현된다.
코시에 의해, \( A_n\le B_n\times \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{a_{ij}}{r_i^{1/2}c_j^{1/2}} \)가 성립한다.
따라서, 증명해야 하는 것은 \( \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{a_{ij}}{r_i^{1/2}c_j^{1/2}} \le n\)이다.
이는 \( \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{a_{ij}}{r_i^{1/2}c_j^{1/2}} \le \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(a_{ij}(\frac{1}{2r_i}+\frac{1}{2c_j}))=n \)에 의해 성립한다.
2. \(B_n\le nC_n\)
산술기하에 의해, \( B_n=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}r_i^{1/2}c_j^{1/2}\le \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}(r_i+c_j)=\frac{1}{2}(\sum_{i=1}^n r_i^2+\sum_{j=1}^n c_j^2) \).
코시에 의해, \(nC_n=\sum_{i=1}^n (n\sum_{j=1}^n a_{ij}^2)\ge \sum_{i=1}^n(\sum_{j=1}^n a_{ij})^2=\sum_{i=1}^n r_i^2\)이므로 성립한다.
insight:
1.$n$과 같은 값이 부등식에 들어간다면, 코시슈바르츠로 인한 항이 아닌지 생각해보자.
2. 많은 부등식들은 기초적인 절대부등식을 현명하게 적용하여 해결될 수 있다.
3. 부등식의 핵심은 어떤 항들을 어떻게 묶을 것인가에 있다.
4. 문제에서 주어진 구조는 문제를 해결할 때에 핵심적인 성질을 반영하고 있을 수 있다.
\(D_n\)에 포함되는, 원점을 중심으로 하는 원들의 나열 \(A_n\)을 찾을 수 있고, 반대로 이를 포함하는 원들의 나열 \(B_n\)을 찾을 수 있다. 이들 각각에 대해 주어진 적분값의 극한이 \(\frac{e-2}{2e}\pi\)가 되도록 할 수 있기 때문에, 자연스럽게 \(D_n\)을 통한 적분의 결과도 얻을 그로 수렴할 것임을 알 수 있다.
\(A^2\)을 한번 계산해보자.
\( A^2_{ij}=\sum_{k=1}^n \sin(ik\alpha)\sin(kj\alpha)=\frac{1}{2}(\sum_{k=1}^n \cos k(i-j)\alpha-\sum_{k=1}^n \cos k(i+j)\alpha ) \)와 같음을 알 수 있다.
\(i\neq j\)라면 이 항이 0이 됨을 계산할 수 있는데, 이는 열심히 계산하면 된다.
중요한 것은 \(i=j\)
인 경우 그 합이 \(\frac{n+1}{2}\)라는 것이고, 따라서 \(A^2\)의 행렬식은 \(\frac{n+1}{2}^n\)이 된다.
결국 \(det A=\pm (\frac{n+1}{2})^{n/2}\)임을 얻게 되고, 이 부호를 결정하는 것이 중요해진다.
이를 구하기 위해 자연스럽게 \(A\)의 trace를 구해야 할 것이라 생각할 수 있고, 실제로 trace가 0임은 쉽게 알 수 있다.
따라서 답은 \( (-1)^{n/2}(\frac{n+1}{2})^{n/2} \)가 된다.
insight:
1. 삼각함수 항등식은 가능한 한 많이 알아두자(...)
2. 행렬식을 구하는 방법은 그리 많지 않다. 일반적인 공식을 적용하거나, 혹은 고윳값을 생각하여 계산하는 것이 보편적일 것이고, 만약 이러한 방법으로 구해지지 않는다면 이러한 방법으로 구해지도록 문제를 변형하는 현명한 방식을 택하는 것이 합리적일 것으로 보인다. 일반적으로 행렬을 변형하는 좋은 방법은 제곱하기, 보조행렬을 곱하기, 행렬 자체를 다른 보조행렬로 쪼개기, 블록으로 쪼개기 등이 있는 것으로 생각된다.
Claim) \(a_n=\sum_{k=0}^{[n/2]}\frac{1}{k+1}\binom{n}{2k}\binom{2k}{k}\)이다.
pf)
주어진 조건에 의해, 좋은 순열들은 전부 "involution"이다.
\( n \)개의 위치중, \(n-2k\)개의 고정점을 먼저 결정하자. 그 가짓수는 \(\binom{n}{2k}\)이다.
이제 남은 \(2k\)개의 위치들을 각각 끝점으로 하는 \(k\)개의 interval을 잡아서, 어떠한 두 interval도 하나가 다른 하나를 포함하지 않도록 하는 가짓수를 구해야 한다. 이는 각 위치별로 L,R 둘 중 하나를 표기하되, L의 prefix가 항상 R의 prefix보다 많거나 같도록 하는 가짓수와 동치이고, 그 가짓수는 카탈랑수\(\binom{2k}{k}\frac{1}{k+1}\)이다. \(\square\)
이제 \(a_n\)의 행동을 분석하는 것은 어렵지 않다.
잘 정리하면 그 극한은 3이 나온다.
insight:
1. 마지막 문제라고 꼭 가장 어렵진 않을수도 있다(...)
2. 카탈랑 대응이 되는 객체들을 알아두면 좋을 것 같다.
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